三つの二次曲線に関するある定理の空間での類似

難波誠著「平面図形の幾何学」(現代数学社) の147ページに次の定理が載っています (表現,記号等は変えています)。
　「平面上の三つの既約二次曲線 C₁, C₂, C₃が異なる 二直線 p, q (下図では黒い線)に接しているとする。
C_i と C_j が p, q の他に異なる二直線に接しているとし, その二直線の交点を P_{i, j} とすれば P_{1, 2} , P_{1, 3} , P_{2, 3} は一直線上にある。」 　この定理の二次曲線を空間内の二次曲面に置き換えた類似を考えます。
x, y, z の二次多項式の零点の集合を二次曲面と呼びます。 ただし, x²+y²+z²+1=0 のように空集合となる場合,
x²+y²+z²=0 のように一点となる場合, x²+y²=0 のように直線となる場合を除外します。
このとき,二次曲面は次の4つに分類できます。
　I 一つまたは二つの平面　例: x²=0, xy=0
　II 頂点と呼ぶ一つの点を通る直線の集まり, この場合の二次曲面を錐と呼ぶ。　例: x²+y²-z²= 0 は (0,0,0) を頂点とする錐
　III 互いに平行な直線の集まり 　例: x²+y²-1=0 は z軸に平行な直線の集まり
　IV I, II, III 以外 　例: x²+y²-z²-1=0

IV 型の二次曲面 Θ に対してある平面との交わりの各点で Θ に接する錐を Θ の接錐と呼ぶことにします。
例えば, Θ を x²+y²+z²-1=0 で表される曲面とするとき,
3y²+3z²-(x-2)²=0 で表される曲面は (2,0,0) を頂点とする Θ の接錐です(2x-1=0 で表される平面との交わりで接しています)。
xy平面上の x²+y²-1 = 0 で表される円に √3y±(x-2) = 0 で表される二直線が接していますが,
これらを x軸の周りに回転してできる立体が上の Θ とその接錐です。

　定理 1 IV 型の二次曲面 Θ に錐 Δ が三点以上で接していれば, Δ は Θ の接錐である。

IV 型の相異なる二次曲面 Θ₁, Θ₂ に対して錐 Δ が 両方の接錐であるとき, Δ を Θ₁, Θ₂ の共接錐と呼ぶことにします。

　定理 2 IV 型の相異なる二つの二次曲面の共接錐は高々二つである。

冒頭の定理の空間版として次が成り立ちます。

　定理 3 Δ が IV 型の相異なる三つの二次曲面 Θ₁, Θ₂, Θ₃ の接錐であるとする。
Θ₁, Θ₂, Θ₃ のどの二つも Δ の他に共接錐を持つとすれば, それらの頂点は一直線上にある。

さらに, 以下のことも成り立ちます。

　定理 4 共接錐を持つ二つの二次曲面が曲線に沿って交わるとすれば, その曲線は一つまたは二つの平面上にある。

　定理 5 定理 3 の三つの二次曲面のどの二つも二平面上の既約二次曲線に沿って交わっていれば,
それらの平面は一つの直線で交わるか, 一点で交わる 4直線が存在してその中の二直線を含む 6平面がそれらの平面である。

　この定理の双対命題として次が成り立ちます。

　定理 6 IV 型の相異なる三つの二次曲面が一平面上の 既約二次曲線で交わっており, どの二つも共接錐を二つ持つとすれば,
それらの頂点は一直線上にあるか, ある 4直線の交点である(下図はその4直線を含む平面との交わりである)。

　互いの外部にある三つの球面に対しても 上の定理の結論が成り立ちます。
三つの球面の中心を通る平面との交わりに モンジュの定理 を適用しても証明できますが,
球面の定義式の x, y, z にそれぞれ X/W, Y/W, Z/W を代入して W² を掛けて複素射影空間に拡張して考えると
三つの球面は無限遠平面(W = 0)と X²+Y²+Z²=0 で表される二次曲線で交わっていますので
上の定理の特別な場合と見ることもできます。
線形代数と実射影空間の知識のある方向けの解説 (PDFファイル)