三つの円に接する円
三つの円に接する円を求める問題はアポロニウスの問題として知られており, 共役な円の対が最大4組あることも知られています。
(ここで, 円 C₁, C₂, C₃ に接する二つの円 D₁, D₂ が共役とは その両方に接する円に対して接点を通る直線は D₁, D₂ の二つある相似の中心の一方を通りますが,
C₁, C₂, C₃ のそれぞれに対する直線の通る相似中心が一致することです。)



　次の定理は高校までに習う数学だけで証明できます。
　定理　 D₁, D₂ を 中心が一直線上にない三つの円 C₁, C₂, C₃ に接する共役な二つの円とする。
C_i (i = 1, 2, 3) と D₁, D₂ の接点を通る直線は C₁, C₂, C₃ の根心を通る。 ここで, 三つの円の根心とはそれらに関するベキが等しい点である。

　 C_i, D₁, D₂ の中心をそれぞれ N, O₁, O₂ とし, C_i と D₁, D₂ の接点をそれぞれ P, Q とします(下図参照)。
直線 PQ と D₂ との交点で Q と異なる方を R, D₁ との交点で P と異なる方を S とすれば,
N, O₁, P は一直線上にあり, N, O₂, Q も一直線上にありますから, 三つの二等辺三角形 NPQ, O₁PS, O₂RQ は相似です。
直線 PQ と O₁O₂ の交点を O とすれば, O は D₁, D₂ の相似の中心であり, O₁PS と O₂RQ が直線 PQ の同じ側(反対側)にあれば, O は O₁O₂ を外分(内分)する点です。
D₁, D₂ が三つの円 C₁, C₂, C₃ に共役であることから, C₁, C₂, C₃ に対して O は同じ点です。
D₂ の半径が D₁ のそれの r倍であるとします。
D₁, D₂ の相似の中心が O ですから, OR = rOP, OQ = rOS です。 したがって OP・OQ = rOP・OS です。
方べきの定理より, C₁, C₂, C₃ で OP・OS は等しいですから, OP・OQ も等しくなります。 したがって, O は C₁, C₂, C₃ の根心です。
　三つの円の中心が一直線上になければ, 根心は一つですから, 上三段の右端の図の通り 4 対の共役な接円の相似中心は一致します。
　　　
　　　 　　　 　　　
　注　 C₁, C₂, C₃ の根心がそれらの外部にあれば, 根心からそれらへの接線の長さが等しいですから C₁, C₂, C₃ に直交する円が唯一つ存在します。
その円に関する反転は C_i をそれ自身に移し, D₁ と D₂を互いに移し合います。

　下図のように上の定理は D₁, D₂ の一方が直線のときにも成り立ちます。
円 C が円 D と直線 L に接しているとき, C と D, L の接点を通る直線は D 上にあってそこでの接線が L に平行な点を通ります。
そのような点は二つありますが, D と L が交わらないときは L から遠い方の点であり,
交わるときは C が D の内部にあるときは L に関して C と反対側にある点, D の外部にあるときは L に関して C と同じ側にある点です。
　　　 　　　
　 D, C の中心をそれぞれ O, N とし, D 上にあってそこでの接線が L に平行な点を上のように定めた点を R とします (下図の左と中央参照)。
OR と NQ は平行であり, O, N, P は一直線上にありますから, ∠POR = ∠PNQ です。
⊿OPR と⊿NPQ は二等辺三角形ですから, ∠OPR = ∠NPQ です。 したがって, P, Q, R は一直線上にあります。
　　　 　　　
　さらに, D, L を固定して C を動かしたとき RP・PQ が一定であることも次のようにしてわかります。
RO と L の交点を S, RO と D の交点で R と異なる方を T とすれば(右上図参照),
∠RPT と ∠RSQ は直角ですから, ⊿RPT と ⊿RSQ は相似です。
したがって, RP:RT = RS:RQ ですから, RP・RQ = RT・RS です。

双曲平面上では方べきの定理は成り立ちませんが, 根軸, 根心は定義でき, 上記の定理と同様なことが成り立ちます。
双曲平面上の三つの P円に接する円に関する定理